反常积分敛散性判别的套路总结

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反常积分敛散性判别的套路总结

2023-12-15 20:31| 来源: 网络整理| 查看: 265

在数学分析中，函数扮演着极其重要的角色，判断起主要作用的函数，能够快速求取函数极限，从而正确判断反常积分的敛散性。

前言

一、反常积分的本质是什么？

二、判断反常积分敛散性的解题基础

1.非负函数反常积分的收敛判别法（Cauchy判别法）

2.一般函数反常积分的收敛判别法（A-D判别法）

三、做题实操

四、一些思考

前言

小R最近学习到了“反常积分的收敛判别法”，即以p-积分为依托，找到被积函数与p-积分的关系，从而判断反常积分的敛散性，省去了求取原函数的麻烦，其中有一道题令小R印象深刻：

讨论 $\int_{0}^{1}\frac{\ln x}{x^{2}-1}dx$ （非负函数反常积分）的敛散性.

引发了小R对这一类问题的思考,即函数世界的“弱肉强食”问题（不同类型函数相遇，起主要作用函数的判断问题），大家熟悉的“指数爆炸”就是我们之后讨论问题的基础之一。

一、反常积分的本质是什么？

定义：区别于Riemann积分，考虑积分区间无限或被积函数无界的积分问题，这样的积分称为反常积分（或广义积分）。

在实际做题当中，我们将抽象概念具象化，那么就有：反常积分=积分+极限，这就是小R所说的反常积分的本质~

二、判断反常积分敛散性的解题基础 1.非负函数反常积分的收敛判别法（Cauchy判别法）

$1.$ （针对于无穷区间）设在 $[a,+\infty ]\subset (0,+\infty )$ 上恒有 $f\left ( x \right )\geqslant 0$ ，K是正常数，

$(1)$ 若 $f\left ( x \right )\leqslant \frac{K}{x^{p}},$ 且 $p 1,$ 则 $\int_{a}^{+\infty }f\left ( x \right )dx$ 收敛;

$(2)$ 若 $f\left ( x \right )\geqslant \frac{K}{x^{p}},$ 且 $p\leqslant 1,$ 则 $\int_{a}^{+\infty }f\left ( x \right )dx$ 发散.

$2.$ （针对于无界函数）设在 $[a,b)$ 上恒有 $f\left (x \right )\geqslant 0,$ 若当x属于b的某个左领域 $[b-\eta _{0},b)$ 时，存在正常数K，使得

$(1)$ $f\left ( x \right )\leqslant \frac{K}{(b-x)^{p}},$ 且 $p1,$ 则 $\int_{a}^{b}f\left ( x \right )dx$ 收敛；

$(2)$ $f\left ( x \right )\geqslant \frac{K}{(b-x)^{p}},$ 且 $p\geqslant 1,$ 则 $\int_{a}^{b}f\left ( x \right )dx$ 发散.

在实际做题过程中，Cauchy判别法的极限形式在构造有效p-积分，也就是被积函数的比较对象时，形式更加简洁，因而相较Cauchy判别法更加常用。下面我们给出Cauchy判别法的极限形式：

$1.$ （针对于无穷区间）

设在 $[a,+\infty ]\subset (0,+\infty )$ 上恒有 $f\left ( x \right )\geqslant 0$ ，且 $\lim_{x\to+\infty }x^{p}f\left ( x\right )=l,$ 则

（1）若 $0\leqslant l+\infty ,$ 且 $p1$ , 则 $\int_{a}^{+\infty }f\left ( x \right )dx$ 收敛；

（2）若 $0 l\leqslant +\infty ,$ 且 $p\leqslant 1,$ 则 $\int_{a}^{+\infty }f\left ( x \right )dx$ 发散.

$2.$ （针对于无界函数）

设在 $[a,b)$ 上恒有 $f\left (x \right )\geqslant 0,$ 且 $\lim_{x\to b^{-} }(b-x)^{p}f\left ( x\right )=l,$ 则

（1）若 $0\leqslant l+\infty ,$ 且 $p1,$ 则 $\int_{a}^{b}f\left ( x \right )dx$ 收敛；

（2）若 $0 l\leqslant +\infty ,$ 且 $p\geqslant 1,$ 则 $\int_{a}^{b}f\left ( x \right )dx$ 发散.

2.一般函数反常积分的收敛判别法（A-D判别法）

$1.$ （针对于无穷区间）若下列两个条件之一满足，则 $\int_{a}^{+\infty }f\left ( x \right )g\left ( x \right )dx$ 收敛：

$(1)$ (Abel判别法） $\int_{a}^{+\infty }f\left ( x \right )dx$ 收敛， $g\left ( x \right )$ 在 $[a,+\infty )$ 上单调有界；

$(2)$ (Dirichlet判别法) $F\left ( A\right )=\int_{a}^{A}f\left ( x \right )dx$ 在 $[a,+\infty )$ 上有界， $g\left ( x \right )$ 在 $[a,+\infty )$ 上单调且 $\lim_{x\to+\infty }g\left ( x\right )=0.$

$2.$ （针对于无界函数）若下列两个条件之一满足，则 $\int_{a}^{b}f\left ( x \right )g\left ( x \right )dx$ 收敛：

$(1)$ (Abel判别法） $\int_{a}^{b}f\left ( x \right )dx$ 收敛， $g\left ( x \right )$ 在 $[a,b)$ 上单调有界；

$(2)$ (Dirichlet判别法) $F(\eta )=\int_{a}^{b-\eta }f\left ( x\right )dx$ 在 $(0,b-a]$ 上有界， $g\left ( x \right )$ 在 $[a,b)$ 上单调且 $\lim_{x\to b^{-} }g\left ( x\right )=0.$

事实上，在实际应用中，Dirichlet判别法更加常用。（为了方便记忆，口诀奉上：半积有界半单调，单函极限等于零）

两类判别法的证明依托于Cauchy收敛原理和积分第二中值定理，证明过程不再进行详细说明，有感兴趣的小伙伴可以私聊小R~

三、做题实操

这里，我们只对被积函数中含 $\ln x$ 的反常积分进行敛散性的判别，得出这一类反常积分敛散性判别的一般解题思路：

1. 讨论 $\int_{0}^{\frac{1}{e}}\frac{dx}{x^{p}\ln x}$ 的敛散性（ $p\in R ^{+}$ ）.

解这是个定号的反常积分， $x= 0$ 是它惟一的奇点.（断类型，定方法）

当 $0p1$ 时，取 $q=\frac{1+p}{2}\in (p,1),$ 则 $\lim_{x\to 0^{+}}\frac{x^{q}}{x^{p}\left | \ln x \right |}=0$ ，（*）

由Cauchy判别法的极限形式， $\int_{0}^{\frac{1}{e}}\frac{dx}{x^{p}\ln x}$ 收敛.

类似地，当 $p1$ 时，取 $q=\frac{1+p}{2}\in (1,p),$ 则 $\lim_{x\to 0^{+}}\frac{x^{q}}{x^{p}\left | \ln x \right |}=+\infty$ ，（*）

由Cauchy判别法的极限形式， $\int_{0}^{\frac{1}{e}}\frac{dx}{x^{p}\ln x}$ 发散.（根据经验分区间，区间不同方法同）

当p=1时，可以直接使用Newton-Leibniz公式得到 $\int_{0}^{\frac{1}{e}}\frac{dx}{x\ln x}=\lim_{\eta \to 0^{+}}\ln \left | \ln x \right |\mid ^{\frac{1}{e}}_{\eta }=-\infty$ .（*）

因此，当 $0p1$ 时，反常积分 $\int_{0}^{\frac{1}{e}}\frac{dx}{x^{p}\ln x}$ 收敛；当 $p\geqslant 1$ 时，反常积分 $\int_{0}^{\frac{1}{e}}\frac{dx}{x^{p}\ln x}$ 发散.

（完整的解题步骤应包括：分析题干，选择方法，下定结论）

稍作补充，需要注意的是，当 $p\leqslant 0$ 时，由于 $\lim_{x\to 0^{+}}\frac{1}{x^{p}\ln x}=0$ ,因此 $\int_{0}^{\frac{1}{e}}\frac{dx}{x^{p}\ln x}$ 是正常积分.做题时，应注意区别这类情形.

2.讨论 $\int_{0}^{1}\frac{\ln x}{x^{2}-1}dx$ 的敛散性.

解因为 $\lim_{x\to 1^{-}}\frac{\ln x}{x^{2}-1}=\frac{1}{2}$ （*），且对任意 $0\delta 1,$ $\lim_{x\to 0^{+}}\frac{x^{\delta }\ln x}{x^{2}-1}=0,$ （*）

由Cauchy判别法的极限形式，积分 $\int_{0}^{1}\frac{\ln x}{x^{2}-1}dx$ 收敛.

四、一些思考

解释一下（*）的步骤

事实上，求取某点处极限的本质就是将该点转化为函数的可带点，在上述极限求取的过程中，0点处我们忽视了lnx，1点处我们将lnx等价为x-1；

而在0处的操作，就是笔者在文章开头提到的判断起主要作用的函数，这里对数函数较幂函数而言可以忽略（对数函数进行有限次求导，可以转化为幂函数的形式），故我们只需判断相应函数的幂函数部分在0处的极限情况，而这是极其简单的。

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